Mathematica如何计算傅里叶变换

Mathematica如何计算傅里叶变换

介绍如何使用软件Mathematica计算傅里叶变换和傅里叶逆变换。Mathematica中的计算方法可能和别处有区别。

首先，傅里叶变换的计算函数是FourierTransform，第一个参数是原函数，第二个参数是要变换的变元，第三个参数是变换后变元。

FourierTransform等价于一个无穷积分。前一步骤那个变换等价的积分如下。注意因子是1/Sqrt(2π)

计算傅里叶逆变换使用InverseFourierTransform函数，参数是类似的。

如图，把λ变换回x。

其等价的积分表达式如下，注意前边的因子。

需要格外注意的是，Mathematica计算傅里叶正逆变换，等价于如图的两个表达式。

有一些地方正变换使用Exp[-i λ x]，也有一些地方正变换不除以因子，逆变换直接除以1/(2π)。

如图紫色区域，就是来自某教科书的正逆变换计算方法，这和Mathematica的计算方法有差异。

傅里叶变换有一些性质。如图是函数微分的傅里叶变换。

相当于变换后乘以因子 (-iλ)^(微分阶数)

如图是在Mathematica的计算方式下的频移和时移性质。这和一些变换定义不同的版本相差正负号。

如图是对频移和时移的具体计算例子。后者常见于偏微分方程的求解当中。

傅里叶变换显然是满足叠加原理的，可以直接在计算中使用。如图是叠加原理的例子。

如图是傅里叶变换对卷积。相当于分别变换后的两个频域函数直接相乘。